Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是弧BE中點，AE⊥CD于點D，延長DC，AB交于點F，已知AD＝4，FC＝FB．

（1）求證：CD是⊙O的切線．

（2）求線段FC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）FC＝6．

【解析】

（1）連接OC，由等腰三角形的性質和角平分線的定義得出∠DAC=∠OCA，于是可判斷OC∥AD，由于AD⊥CD，則OC⊥CD，然后根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）有了FC=FB，設BF=x，則CF=x，根據切割線定理得到,設OA=OB=OC=r，求得BF=2r，根據相似三角形的性質得到BF=6，于是得到結論．

（1）證明：連接OC．

∵C是的中點，

∴AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠OAC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴DA∥OC，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠OCD＝90°，

即OC⊥DC，

∵OC為半徑，

∴DC為⊙O的切線；

（2）∵FC＝FB，

∴設BF＝x，則CF＝x，

∵CD是⊙O的切線，

∴CF2＝BFAF，

設OA＝OC＝OB＝r，

∴2x2＝x（x+2r），

∴x＝2r，

∴BF＝2r，

∵OC∥AD，

∴△OCF∽△ADF，

∴，

∴ ，

∴r＝3，

∴BF＝6，

∴FC＝FB＝6．