Question

二次函數的圖象與x軸只有一個交點；另一個二次函數的圖象與x軸交于兩點，這兩個交點的橫坐標都是整數，且m是小于5的整數．
求：（1）n的值；
    （2）二次函數的圖象與x軸交點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵二次函數的圖象與x軸只有一個交點，
∴b²-4ac=1-4（n-）=0，
解得：n=1；

（2）將n=1代入二次函數解析式得：
y₂=x²-2（m-1）x+m²-4m+6，
∵二次函數的圖象與x軸交于兩點，
∴b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-4m+6）＞0，
解得：m＞，
∵m是小于5的整數，
∴＜m＜5，
∴m=3或4，
∵二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標都是整數，
∴當m=3時，
y₂=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
與x軸交點坐標為；（1，0），（3，0），
當m=4時，
y₂=x²-6x+6=（x-1）（x-3），
與x軸交點坐標為；（3+，0），（3-，0）不合題意舍去，
故二次函數的圖象與x軸交點的坐標為：（1，0），（3，0）．
分析：（1）利用拋物線圖象與x軸交點個數與△符號的關系得出b²-4ac=0求出即可；
（2）根據（1）中所求以及b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-4m+6）＞0，得出m的取值范圍，進而利用圖象與x軸交點的橫坐標都是整數得出m的值，進而得出答案．
點評：此題主要考查了拋物線與x軸交點問題與判別式△的關系和一元二次方程的解法等知識，熟練掌握△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點是解題關鍵．