Question

已知二次函數的圖象與x軸兩交點間的距離為2，若將圖象沿y軸方向向上平移3個單位，則圖象恰好經過原點，且與x軸兩交點間的距離為4，求原二次函數的表達式．

Answer 1

分析：由于新拋物線的圖象恰好經過原點，且與x軸兩交點間的距離為4，所以先設平移后所得拋物線的解析式為：y=ax²+bx，把x=±4，y=0代入可得，b=±4a，故可用a表示出二次函數的表達式，再把此二次函數向下平移3個單位即可得到原拋物線的解析式，根據一元二次方程根與系數的關系即可求出a的值，進而得到其拋物線的解析式．

解答：解：∵新拋物線的圖象恰好經過原點，且與x軸兩交點間的距離為4，
∴此拋物線與x軸的交點為：（0，0），（4，0）或（-4，0），
∴設新拋物線的解析式為：y=ax²+bx（a≠0）．
①當拋物線過：（0，0），（4，0）時，把x=4，y=0代入得，16a+4b=0，即b=-4a，
∴新拋物線的解析式為：y=ax²-4ax，
∴原拋物線的解析式為：y=ax²-4ax-3，
設原拋物線與x軸的兩交點坐標分別為（x₁，0），（x₂，0）則|x₂-x₁|=2，
由根與系數的關系可知，x₁+x₂=4，x₁•x₂=-

3

a

，
∴（x₂-x₁）²=4，
∴（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁•x₂
=16-4×（-

3

a

）
=16+

12

a

，
∵（x₂-x₁）²=4，
∴16+

12

a

=4，解得a=-1，
∴原二次函數的解析式為：y=-x²+4x-3；
②當拋物線過：（0，0），（-4，0）時，把x=-4，y=0代入得，16a-4b=0，即b=4a，
∴新拋物線的解析式為：y=ax²+4ax，
∴原拋物線的解析式為：y=ax²+4ax-3，
同①可得a=-1，
∴原二次函數的解析式為：y=-x²-4x-3．
故答案為：y=-x²+4x-3或y=-x²-4x-3．

點評：本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，涉及到用待定系數法求二次函數的解析式及根與系數的關系，根據題意得出a與b之間的關系是解答此題的關鍵．