Question

【題目】如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交AB于點F，設運動時間為t秒．

（1）當t＝4時，求點E的坐標；

（2）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標是（8，0）；（2）存在，P的坐標為：（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）過點E作CB的垂線，垂足為H，首先證明△PBC∽△BEH，然后由相似三角形的性質求出BH＝6，得出OE＝8即可求出點E的坐標；

（2）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分四種情況討論：①點P在點O上方時，△POE∽△EAB；②點P在點O上方時，△POE∽△BAE；③當點P在點O下方時，△OPE∽△ABE；④當點P在點O下方時，△OEP∽△ABE；分別求解即可．

解：（1）當t＝4時，PC＝4，

過點E作CB的垂線，垂足為H，如圖1所示：

∵A（2，0），C（0，3），

∴OA＝2，OC＝3，

∵四邊形OABC是矩形，

∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，

∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，

∴∠BPC＝∠EBH，

∵∠EHB＝∠BCP＝90°，

∴△PBC∽△BEH，

∴，即＝，

解得：BH＝6，

∴AE＝BH＝6，

∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，

∴點E的坐標是（8，0）；

（2）存在；

∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，

∴∠ABE＝∠PBC，

∵∠BAE＝∠BCP＝90°，

∴△BCP∽△BAE，

∴，

∴，

∴AE＝t，

當點P在點O上方時，如圖2所示：

①若時，△POE∽△EAB，

∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，

∴，

解得：t1＝，t2＝（舍去），

∴OP＝3﹣＝，

∴P的坐標為（0，）；

②若△POE∽△BAE，

∵∠PEO和∠BEA明顯不相等，

∴此情況不成立；

當點P在點O下方時，如圖3所示：

③若，則△OPE∽△ABE，

∴，

解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），

OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，

∴P的坐標為（0，﹣）；

④若，則△OEP∽△ABE，

即，整理得：t2＝﹣9，

∴這種情況不成立，

綜上所述，存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似，P的坐標為：（0，）或（0，﹣）．