Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣+bx+c經過A，B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線上，點Q在直線AB上，當P，Q關于原點O成中心對稱時，求點Q的坐標；

（3）點M為直線AB上的動點，點N為拋物線上的動點，當以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）；（3）滿足條件的點M的坐標為（2，1）或（2﹣2，1+）或（2+2，1﹣）或（﹣2+2，3﹣）或（﹣2﹣2，3+）．

【解析】

（1）先確定出點A，B坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；
（2）設點Q的作標為（x，y），則P點坐標是（-x，-y）．利用直線方程與拋物線方程聯立方程組，求得交點坐標即可；
（3）分OB為邊和為對角線兩種情況進行求解：①當OB為平行四邊形的邊時，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②當OB為對角線時，OB與MN互相平分，交點為H，設出M，N坐標用OH=BH，MH=NH，建立方程組求解即可．

解：（1）∵與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴A（4，0），B（0，2）．

∵拋物線經過點A，B，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為；

（2）設點Q的作標為（x，y），則P點坐標是（﹣x，﹣y），

∴，

解得：，；

∴．

（3））①當OB為平行四邊形的邊時，MN＝OB＝2，MN∥OB，

∵點M在直線AB上，點N為拋物線上，

∴設M（m，﹣m+2），

∴N（m，﹣m2+m+2），

∴MN＝|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝|﹣m2+2m|＝2，

當﹣m2+2m＝2，

解得，m＝2，

∴M（2，1），

當﹣m2+2m＝2，

解得，m＝2，

∴M（2﹣2），M（2+2，1﹣），

②當OB為對角線時，OB與MN互相平分，交點為H，

∴OH＝BH，MH＝NH，

∵B（0，2），O（0，0），

∴H（0，1），

設M（n，﹣），N（d，），

∴，

解得或，

∴M（﹣2+2，3﹣），M（﹣2﹣2，3+），

即：滿足條件的點M的坐標為（2，1）或（2﹣2，1+）或（2+2，1﹣）或（﹣2+2，3﹣）或（﹣2﹣2，3+）．