Question

小麗參加數學興趣小組活動，提供了下面3個有聯系的問題，請你幫助解決：
（1）如圖1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求證：AE=DF；
（2）如圖2，正方形ABCD中，點E，F分別在AD，BC上，點G，H分別在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；
（3）如圖3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E，F分別在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明AE=DF，只要證明三角形ABE和DAF全等即可．它們同有一個直角，且AB=AD，又因為∠AEB=90°-∠BAE=∠AFD，這樣就構成了全等三角形判定中的AAS，兩三角形就全等了；
（2）可通過構建與已知條件相關的三角形來求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，那么AM=EF，DN=GH，（1）中我們已證得△ABM、△DAN全等，那么AM=DN，即EF=GH，它們的比例也就求出來了；
（3）做法同（2）也是通過構建三角形來求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，只不過證明三角形全等改為了證明其相似．解題思路和步驟是一樣的．
解答：（1）證明：∵DF⊥AE
∴∠AEB=90°-∠BAE=∠AFD
又∵AB=AD，∠ABE=∠DAF=90°
∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF；

（2）解：作AM∥EF交BC于M
作DN∥GH交AB于N
則AM=EF，DN=GH
由（1）知，AM=DN
∴EF=GH，即

（3）解：作AM∥EF交BC于M
作DN∥GH交AB于N
則AM=EF，DN=GH
∵EF⊥GH
∴AM⊥DN
∴∠AMB=90°-∠BAM=∠AND
又∵∠ABM=∠DAN=90°
∴△ABM∽△DAN
∴
∴．
點評：本題中（1）（2）和（3）雖然所求不一樣，但是解題思路和步驟是一樣的，都是通過構建與已知和所求的條件相關的三角形，然后證明其全等或相似來得出線段間的相等或比例關系．