Question

（2013•高要市一模）如圖，在直角坐標系中，拋物線與x軸交于A（1，0）、C兩點（點C在點A的左側），與y軸交于點B，且拋物線的頂點坐標為（-1.5，3.125）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點P是拋物線上的一個動點，且在B、C兩點之間，問當點P運動到什么位置時，△PBC的面積最大？并求出此時點P的坐標和△PBC的最大面積．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式求出拋物線解析式進而得出答案；
（2）利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB進而利用x表示出三角形的面積，即可利用二次函數最值得出答案．

解答：解：（1）設y=a （x+1.5）²+3.125，
把A點（1，0）代入上式，得：（1+1.5）²a+3.125=0，
解得：a=-0.5，
∴拋物線的解析式是：y=-0.5（x+1.5）²+3.125；

（2）連接PO，則S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB．
∵S_△OCB=

CO×BO

2

=

4×2

2

=4．
設P（x，-0.5（x+1.5）²+3.125），
∵P在第二象限；
∴S_△PBO=

|x|×2

2

=|x|=-x；
S_△PCO=

4×(-0.5(x+1.5)2+3.125)

2

=-（x+1.5）²+6.25，
S_△PBC=[-（x+1.5）²+6.25-x]-4=-x²-4x；
∴當x=

-(-4)

2×(-1)

=-2時；S有最大值=4．
此時x_P=-2；
∴y_P=3；
∴P（-2，3）．

點評：此題主要考查了頂點式求出二次函數解析式以及三角形面積求法和二次函數最值問題等知識，利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB得出是解題關鍵．