Question

閱讀材料：∵ax²+bx=c=0（a≠0）有兩根為．．
∴，．
綜上得，設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x₁+x₂=-，x₁x₂=
利用此知識解決：是否存在實數m，使關于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根平方和等于2？若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：由題意知
x₁+x₂=-=-（m+1），
x₁x₂==m+4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-2（m+4）=2，
∴m²=9，
∴m₁=3，m₂=-3，
又∵△=m²-2m-15≥0，
∴m≥5或m≤-3，
∴最后m=-3（m=3舍去）
存在實數m，使關于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根平方和等于2．
分析：利用x₁+x₂=-，x₁x₂=，根據代數式x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，根據一元二次方程的根與系數的關系，代入即可得到關于m的方程，即可求得m的值．
點評：本題是信息題，考查了利用根與系數的關系對代數式的變形求值．