Question

閱讀材料：∵ax²+bx+c=0（a≠0）有兩根為x1=

-b+ b2-4ac

2a

．x2=

-b- b2-4ac

2a

．∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．綜上得，設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．利用此知識解決：
（1）已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的兩根，不解方程求下列式子的值：①x₁²+x₂²；②（x₁+1）（x₂+1）；
（2）是否存在實數m，使關于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根平方和等于2？若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據根與系數的關系得出x1+x2，x1x2的值，再對①利用完全平方公式變形，最后把x1+x2，x1x2的值代入計算即可，對②利用多項式乘以多項式展開，再結合，然后把把x1+x2，x1x2的值代入計算即可；
（2）先根據根與系數的關系得出a+b，ab的值，再利用完全平方公式對a²+b²變形，再代入a+b，ab的值，進而可求m．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-x-1=0的兩根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
∴①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1-2×（-1）=3；
②（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=-1+1+1=1．
（2）設方程的兩根是a、b，則
a+b=-（m+1），ab=m+4，
a²+b²=（a+b）²-2ab=（m+1）²-2（m+4）=2，
解得m=±3．

點評：本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是注意整體代入以及完全平方公式的利用．