Question

如圖，梯形AOBC中，AC∥OB，AO⊥OB，OA=2，OB=5，tanB是方程2x²+7x-4=0的一個根，以O為坐標原點，OB、OA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系：
（1）求經過O、C、B三點的拋物線的解析式；
（2）延長AC交（1）中的拋物線于點D，求線段CD的長；
（3）若平行于x軸的一條直線交（1）中的拋物線于點M、N，以MN為直徑的圓正好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）由題意，易得到A、B的坐標，通過解方程可求出tanB的值；過C作x軸的垂線，設垂足為E，在Rt△BCE中，根據CE（即OA）的長及tanB的值即可求出BE的長，進而可求出點C的坐標；然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）由于AC∥OB（即x軸），那么C、D的縱坐標相等，根據拋物線的解析式即可求出D點的坐標，進而可得到CD的長；
（3）可根據拋物線的解析式設出M點的坐標，拋物線對稱軸方程與M點橫坐標差的絕對值即為此圓的半徑，由于此圓與x軸相切，那么M點縱坐標的絕對值與此圓的半徑相等，由此可得出關于M點橫坐標的方程，進而可得到所求圓的半徑．

解答：解：（1）由已知得A（0，2），B（5，0）；
解方程2x²+7x-4=0
得：x=-4，x=

1

2

；
∵tanB＞0，
∴tanB=

1

2

；
過點C作CE⊥OB于點E，則CE=AO=2；
∴tanB=

CE

BE

，
∴BE=4；
∴OE=OB-BE=1，
∴C（1，2）；
∵拋物線經過點O（0，0）和點B（5，0），
設拋物線的解析式為y=ax（x-5），
又∵拋物線經過點C（1，2），
∴a=-

1

2

；
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x（x-5），
即y=-

1

2

x²+

5

2

x；

（2）由題意設D（t，2），其中t≠0；
∵點D在拋物線上，
∴t=4，
∴點D（4，2），CD=3；

（3）拋物線的對稱軸：直線x=

5

2

；
設點M（m，-

1

2

m²+

5

2

m），
∴MP=

5

2

-m；
∴

5

2

-m=|-

1

2

m²+

5

2

m|，
∴m=

7± 29

2

或m=

3± 29

2

；
故此圓的半徑為

2+ 29

2

．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及的知識點有：一元二次方程的解法、解直角三角形、二次函數解析式的確定以及直線與圓的位置關系等．