Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如圖）．E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點．
（1）當BE=8時，四邊形ABED是

直角

梯形（填直角或等腰），此時梯形的面積是

12

．
（2）當BE=

4

時，四邊形ABED是矩形，此時矩形的面積是

8

．
（3）①設BE=x，△BME的面積為S，求S關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
②設BE=x，△ABM的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；

Answer 1

分析：（1）當BE=8時，四邊形ABED的AD=4，∠DAB=90°，就可以得出四邊形ABED是直角梯形，根據梯形的面積公式就可以求出結論；
（2）由四邊形ABED是矩形就有AD=BE=4，再由矩形的面積公式就可以求出結論；
（3）①由條件M是線段DE的中點可以知道MG=

1

2

AB，由三角形的面積公式就可以表示出S與x的函數關系式；
②作MF⊥AB于F，由M是線段DE的中點就可以得出MF是梯形ABED的中位線，就可以表示出MF的值，由三角形的面積公式就可以求出y與x之間的函數關系式．

解答：解：（1）由題意，得
當BE=8時，AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC，
∴AD≠BE，且∠DAB=90°，
∴四邊形ABED是直角梯形．
∴S=

(4+8)×2

2

=12．

（2）∵四邊形ABED是矩形，
∴AD=BE．
∵AD=4，
∴BE=4．
S=2×4=8．

（3）①作DH⊥BC于H，MG⊥BC與G，
∴DH∥MG，∠DHB=∠DHC=90°．
∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DHC=90°．
∵∠DAB=90°，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴DH=AB=2，
∵M是ED的中點，
∴MG=

1

2

DH=1．
∴S_△BME=

1

2

BE•GM，
=

1

2

×1×x，
=

1

2

x（x＞0）．
∴S與x之間的函數解析式為：S=

1

2

x（x＞0）；
②作MF⊥AB于F，
∴∠MFB=90°．
∵∠DAB=90°，
∴∠MFB=∠DAB，
∴MF∥BC．
∵M是ED的中點，
∴F是AB的中點，
∴MF是梯形ABED的中位線，
∴MF=

1

2

（AD+BE），
=

1

2

×（4+x），
∴y=

1

2

×2×

1

2

×（4+x），
y=

1

2

x+2（x＞0）．
∴y與x之間的函數關系式為：y=

1

2

x+2（x＞0）．
故答案為：直角，12；4，8．

點評：本題考查了梯形的性質和矩形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，梯形的中位線和三角形的中位線的運用，一次函數函數的解析式的運用，解答時根據梯形的中位線和三角形的中位線確定三角形的高是解答本題的難點及關鍵．