Question

（本題8分）
某數學興趣小組，利用樹影測量樹高．已測出樹AB的影長AC為9米，并測出此時太陽光線與地面成30°夾角．

（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變。
小題1:①求樹與地面成45°角時的影長。
小題2:②試求樹影的最大長度．
（計算結果精確到0.1米，參考數據：≈1.414， ≈1.732）

Answer 1

小題1:（1）⒌1
小題2:（2）① ⒐6        ②⒑2

分析：
（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函數即可求得AB的長；
（2）①在△AB₁C₁中，已知AB₁的長，即AB的長，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．過B₁作AC₁的垂線，在直角△AB₁N中根據三角函數求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根據三角函數求得NC₁的長，即可求解；
②當樹與地面成60°角時影長最大，根據三角函數即可求解。
解答：
（1）AB=ACtan30°=9×/3=3=5.1（米）
答：樹高約為5.1米。
（2）作B₁N⊥AC₁于N。
①如圖（2）：

B₁N=AN=AB₁sin45°=3≈3.5（米），
NC₁=NB₁tan60°=3×≈6.1（米），
AC₁=AN+NC₁=3.5+6.1=9.6（米）。
答：樹與地面成45°角時的影長約為9.6米。
②如圖（2），當樹與地面成60°角時影長最大AC₂（或樹與光線垂直時影長最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時影長最大）
AC₂=2AB₂≈10.2米
答：樹的最大影長約為10.2米。
點評：一般三角形的計算可以通過作高線轉化為直角三角形的問題。