Question

如圖，在銳角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的角平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是____________.

Answer 1

3

在AC上取一點E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，根據兩點之間線段最短和垂線段最短得出此時BM+MN最小，求出E和B關于AD對稱，求出BM+MN=EN，求出EN，即可求出答案．
解：在AC上取一點E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，則BM+MN最小（根據兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），

∵AD平分∠CAB，AE=AB，
∴EO=OB，AD⊥BE，
∴AD是BE的垂直平分線（三線合一定理），
∴E和B關于直線AD對稱，
∴EM=BM，
即BM+MN=EM+MN=EN，
∵EN⊥AB，
∴∠ENA=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠AEN=30°，
∵AE=AB=6，
∴AN=AE=3，
在△AEN中，由勾股定理得：EN=
即BM+MN的最小值是．
故答案為：．