Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A（3，0），B（-1，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點D．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）點P是直線y=-x上的動點，當直線y=-x平分∠APB時，求點P的坐標；
（3）在（2）的結論下，連接AP，在平面內是否存在△A₁O₁P₁，使△A₁O₁P₁≌△AOP（點A₁、O₁、P₁的對應點分別為A、O、P，O₁A₁平行于y軸，點O₁在點A₁上方），且△A₁O₁P₁打兩個頂點恰好落在拋物線上？若存在，請求出點A₁的橫坐標m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點C的坐標，然后設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點C的坐標代入求得a的值，然后利用配方法求得拋物線的頂點坐標即可；
（2）連接PB、PA，PA交y軸于點D．首先證明△POD≌△POB，OD=OB=1，于是可求得D（0，1），然后可求得直線PD的解析式，最后將直線PD與y=-x聯立求得點P的坐標即可；
（3）①O₁A₁平行于y軸，點O₁與A₁不能同時在拋物線上；②當點O₁與P₁同時在拋物線上時，設點A₁的坐標為（m，-m²+2m+3）則P₁（m+$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+4.5）或P₁（m-$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+4.5）．將點P₁的坐標代入即可可求得m的值，當點A₁與P₁同時在拋物線上時，用含m的式子表示點P₁的坐標，將點P₁的坐標代入即可可求得m的值．

解答 解：（1）令x=0得：y=3，
∴C（0，3）．
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點C的坐標代入得：-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點坐標為（1，4）．
（2）如圖1所示：連接PB、PA，PA交y軸于點D．

∵直線OP的解析式為y=-x，
∴∠POD=∠POB．
在△POD和△POB中$\left\{\begin{array}{l}{∠DPO=∠BPO}\\{OP=OP}\\{∠POD=∠POB}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△POB．
∴OD=OB=1．
∴D（0，1）．
設PD的解析式為y=kx+1，將點A（3，0）代入得：3k+1=0，解得：k=-$\frac{1}{3}$．
∴直線PD的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1．
將y=-x與y=-$\frac{1}{3}$x+1聯立，解得：x=-$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3}{2}$．
∴點P的坐標為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（3）①∵O₁A₁平行于y軸，
∴點O₁與A₁不能同時在拋物線上．
②當點O₁與P₁同時在拋物線上時，設點A₁的坐標為（m，-m²+2m+3）則P₁（m+$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+4.5）或P₁（m-$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+4.5）．
將點P₁的坐標代入拋物線的解析式得：-（m-$\frac{3}{2}$）²+2（m-$\frac{3}{2}$）+3=-m²+2m+3+4.5或：-（m+$\frac{3}{2}$）²+2（m+$\frac{3}{2}$）+3=-m²+2m+3+4.5．
解得：m=$\frac{13}{4}$或m=-$\frac{5}{4}$．
③當點A₁與P₁同時在拋物線上時，則O₁的坐標為（m，-m²+2m+3）則P₁（m+$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+1.5）或P₁（m-$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+1.5）．
將點P₁的坐標代入拋物線的解析式得：-（m-$\frac{3}{2}$）²+2（m-$\frac{3}{2}$）+3=-m²+2m+3+1.5或：-（m+$\frac{3}{2}$）²+2（m+$\frac{3}{2}$）+3=-m²+2m+3+1.5．
解得：m=$\frac{9}{4}$或m=-$\frac{1}{4}$．
綜上所述，點A₁的橫坐標m的值為m=$\frac{13}{4}$或m=-$\frac{5}{4}$或m=$\frac{9}{4}$或m=-$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，全等三角形的判定和性質，點的坐標與函數解析式的關系，用含m的式子表示點P₁的坐標是解題的關鍵．