Question

如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的

AB

上，有一個動點P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G．
（1）當點P在

AB

上運動時，線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應的長度；
（2）如果△PGH是直角三角形，試求OG：PG：HG的值；
（3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：重心是三角形中線交點，它把中線分為1：2的比例，如果中線長度不變，題中的三線段長度也不變．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜邊，也是半徑是保持不變的所以線段GH保持不變；則根據直角三角形中斜邊的中線是斜邊的一半可以求得OP中線的長度，進而求得GH的長度；
（2）延長PG交OA于C，則y=

2

3

×PC；分別再直角三角形OPh和直角三角形PHC中運用兩次勾股定理即可以求出y關于x的函數解析式；
（3）分別討論GH=PG，GH=PH，PH=PG這三種情況，根據（2）中的解析式可以分別求得x的值．

解答：解：（1）當然是GH不變，
重心是三角形中線交點，它把中線分為1：2的比例，
如果中線長度不變，題中的三線段長度也不變，
PO是半徑，它是直角三角形OPH的斜邊，它的中線等于它的一半；
則GH=

2

3

×（

1

2

OP）=

2

3

×（

1

2

×6）=2；

（2）延長OG交PH于點K，延長HG交OP于點F，
∵△PGH為Rt△，FG=

1

2

GH=1，PF=

1

2

OP=3，
∴PG=2

2

，
∴PH=

8+4

=2

3

，
∴KG=

3

∴OG=2

3

∴OG：PG：HG=2

3

：2

2

：2=

3

：

2

：1；

（3）△PGH是等腰三角形有3種可能性，
①當GP=PH時，PH=

6

，
②當GP=GH時，PH=0（不存在），
③當PH=GH時，PH=2，
∴PH=

6

或PH=2．

點評：本題主要考查了重心的概念以及直角三角形與等腰三角形的性質，綜合性比較強，難度較大．