Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，點P沿AB邊從A向B以2 cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從D向A以1 cm/s的速度移動.如果P，Q同時出發，用t(s)表示移動時間(0≤t≤6)，那么：

(1)當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？

(2)求四邊形QAPC的面積，你有什么發現？

(3)當t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【解析】(1)對于任意時刻的t有：AP=2t，DQ=t，

AQ=6-t，

當AQ=AP時，△QAP為等腰直角三角形,

即6-t=2t，∴t=2，

∴當t=2時，△QAP為等腰直角三角形.

(2)在△AQC中，AQ=6-t，AQ邊上的高CD=12，

∴S_△AQC=(6-t)×12=36-6t,

在△APC中，AP=2t，AP邊上的高CB=6，

∴S_△APC=×2t×6=6t.

∴四邊形QAPC的面積

S_{四邊形QAPC}=S_△AQC+S_△APC

=36-6t+6t=36(cm²),

所以，經計算發現：點P，Q在運動的過程中，四邊形QAPC的面積保持不變.

(3)根據題意，應分兩種情況來研究：

①當時，△QAP∽△ABC，

則有，求得t=1.2(s).

②當時，△PAQ∽△ABC，

則有，求得t=3(s)

∴當t=1.2或3時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似.