Question

【題目】如圖1，以為直徑的半圓上有一動點，點為弧的中點，連接、相交于點，延長到點，使得，連接、．

（1）求證：是的切線；

（2）如圖2，連接，若，求的值；

（3）如圖3，若，．求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2） （3）12

【解析】

（1）AB=AM，則∠ABM=∠AMB=∠EMC，點E為弧CF的中點，則∠EBC=∠ECM，而BC為直徑，則∠BEC=90°，即可求解；
（2）證明∠ABF=∠MBF=α=∠MCE=∠ABF=∠ACB=α，則∠ABF+∠MBF+∠EBC=∠ABC=90°=3α，分別求出BF、BC、BE線段的長，即可求解；
（3）利用Rt△CEM∽Rt△BEC，即可求解．

（1）如圖1，

AB=AM，∴∠ABM=∠AMB=∠EMC，
點E為弧CF的中點，則∠EBC=∠ECM，
∵BC為直徑，∴∠BEC=90°，∠BFC=90°，
∴∠EMC+∠ECM=90°，
∴∠ABM+∠MBC=90°，
∴AB是⊙O的切線；
（2）如圖2，
∵AF=FM，∠BFC=90°，
∴∠ABF=∠MBF=α=∠MCE，
而∠ABF=∠ACB=α，
∴∠ABF+∠MBF+∠EBC=∠ABC=90°=3α，
∴α=30°，
則BF=BC=r，同理BE=r，而BC=2r，
∴ = ；
（3）如圖3，
tan∠ACB=

設：AB=5m，BC=12m，
則AC=13m，CM=AC-AM=8m，
∵∠EBC=∠ECM，
∴Rt△CEM∽Rt△BEC，
∴ ，

即：

解得：EC=12．