Question

17．如圖，已知二次函數y=ax²+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，（點A在點B左側），與y軸交于點C，點A的坐標為（-2，0）且對稱軸直線x=1，直線AD交拋物線于點D（2，m）
（1）求二次函數的表達式；
（2）點P是線段AB上的一動點（點P和點A，B不重合），過點P作PE∥AD交BD于E，連接DP，當△DPE的面積最大時，求點P的坐標；
（3）在拋物線上對稱軸上是否存在一點M，使△MAC的周長最小，若存在，求出點M的坐標

Answer 1

分析 （1）根據對稱軸和點A的坐標為（-2，0），得到B點坐標為（4，0），將A（-2，0），B（4，0）分別代入解析式y=ax²+bx-4即可；
（2）如圖1，作EF⊥x軸于F，求出AD解析式，可得到PE解析式為y=-x+g，設E（t，2t-8），將E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，PE解析式為y=-x+3t-8，求出P點坐標為（3t-8，0），列出S_△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t²+36t-48即可求解；
（3）如圖2，由點A與點B關于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于M，則此時△MAC的周長最小，求得直線BC 的解析式為y=x-4，把x=1代入y=x-4得y=-3，于是得到結論．

解答 解：（1）∵點A的坐標為（-2，0）且對稱軸直線x=1，B點坐標為（4，0），
將A（-2，0），B（4，0）分別代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{16a+4b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
二次函數解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．
（2）如圖1，作EF⊥x軸于F，將點D（2，m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-4得，m=-4，
則D點坐標為（2，-4），
設AD解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），D（2，-4）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
函數AD解析式為y=-x-2．
∵PE∥AD，
∴PE解析式為y=-x+g．
設BD解析式為y=mx+n，
把B（4，0），D（2，-4）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=-4}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-8}\end{array}\right.$，
函數BD解析式為y=2x-8．
則可設E（t，2t-8），將E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，
PE解析式為y=-x+3t-8，
當y=0時，x=3t-8，則P點坐標為（3t-8，0），
S_△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t²+36t-48，
當t=-$\frac{36}{2×（-6）}$=3時，S_△DPE的面積最大，
此時，3t-8=3×3-8=1，
得P（1，0）．
（3）存在，
如圖2，∵點A與點B關于對稱軸對稱，
∴連接BC交對稱軸于M，
則此時△MAC的周長最小，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴直線BC 的解析式為y=x-4，
∵點M在拋物線的對稱軸上，
∴把x=1代入y=x-4得y=-3，
∴M（1，-3）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，涉及待定系數法求一次函數解析式、二次函數解析式，二次函數求最值、軸對稱最短路徑問題，難度較大，值得關注．