Question

已知A（0，6），點B（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，連接AB，作BC⊥AB，且BC：AB=1：2．又BD⊥x軸交直線AC于點D．
（1）如圖，用含t的代數式表示點C的坐標及△ABC的面積；
（2）當△ABD為等腰三角形時，求出所有符合條件的點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）過點C作CE⊥OB于E，根據有兩角對應相等的兩三角形相似得出△AOB∽△BEC，列出比例式求出BE=3，EC=

1

2

t，進而得到點C的坐標；先由勾股定理求出BC²，再根據三角形的面積公式及AB=2BC，得出S_△ABC=BC²；
（2）當△ABD為等腰三角形時，分三種情況：①AD=AB；②AD=BD；③AB=BD．每一種情況，都可以根據兩點間距離公式列出關于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）過點C作CE⊥OB于E．
在△AOB與△BEC中，
∵∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴

OA

EB

=

OB

EC

=

AB

BC

=2，
即

6

BE

=

t

EC

=2，
∴BE=3，EC=

1

2

t，
∴OE=OB+BE=t+3，
∴點C的坐標為（t+3，

1

2

t）；
在Rt△BCE中，BC²=CE²+BE²=

1

4

t²+9，
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=BC²，
∴S_△ABC=

1

4

t²+9；

（2）∵A（0，6），C（t+3，

1

2

t）；
∴直線AC的解析式為y=

1 2 t-6

t+3

x+6．
∵點B（t，0），
∴設D（t，

1 2 t-6

t+3

t+6），
∴AB²=t²+36，AD²=t²+（

1 2 t-6

t+3

t）²，BD²=（

1 2 t-6

t+3

t+6）²．
分三種情況：
①當AD=AB時，t²+（

1 2 t-6

t+3

t）²=t²+36，（

1 2 t-6

t+3

t）²=36，
∴

1 2 t-6

t+3

t=6或

1 2 t-6

t+3

t=-6，
當

1 2 t-6

t+3

t=6時，整理得t²-24t-36=0，
解得t₁=12+6

5

，t₂=12-6

5

（不合題意，舍去），
∴B₁（12+6

5

，0）；
當

1 2 t-6

t+3

t=-6時，整理得t²+36=0，
此方程無解；
②當AD=BD時，t²+（

1 2 t-6

t+3

t）²=（

1 2 t-6

t+3

t+6）²，
整理得t³-3t²+36t-108=0，
∴（t-3）（t²+36）=0，
解得t=3，
∴B₂（3，0）；
③當AB=BD時，t²+36=（

1 2 t-6

t+3

t+6）²，
整理得t³+8t²+36t+288=0，
∴（t+8）（t²+36）=0，
解得t=-8（不合題意，舍去）．
綜上可知，符合條件的點B的坐標為B₁（12+6

5

，0），B₂（3，0）．

點評：本題考查了一次函數的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質，三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質，一次函數解析式的確定，方程的解法等知識，注意（2）中，進行分類討論是解題的關鍵．