Question

證明：對任意三角形，一定存在兩條邊，它們的長u，v滿足1≤

u

v

＜

1+ 5

2

Answer 1

證明：設任意△ABC的三邊長為a，b，c，不妨設a＞b＞c．若結論不成立，則必有

a

b

 ≥ 

1+  5

2

①

b

c

≥

1+  5

2

．②
記b=c+s，a=b+t=c+s+t，顯然s，t＞0代入得

c+s+t

c+s

≥

1+  5

2

，

1+  s c +  t c

1+  s c

≥

1+  5

2

，
令x=

s

c

，y=

t

c

則

1+x+y

1+x

≥

1+  5

2

．③
由a＜b＜c，得c+s+t＜c+s+c，即t＜c，于是．y=

t

c

＜1
由②得

b

c

= 

c+s

c

=1+x≥

1+  5

2

，④
由③，④得y≥（

1+  5

2

-1）（1+x）≥

5-1

2

• 

1+  5

2

=1，
此式與y＜1矛盾．從而命題得證．