Question

為了探索三角形的內切圓半徑r與周長L、面積S之間的關系，在數學實驗活動中，選取等邊三角形（圖甲）和直角三角形（圖乙）進行研究．如圖，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為點D、E、F．

（1）用刻度尺分別量出表中未度量的△ABC的長，填入空格處，并計算出周長L和面積S．（結果精確到0.1厘米）

	AC	BC	AB	r	L	s
圖甲				0.6
圖乙			5.0	1.0

（2）觀察圖形，利用上表實驗數據分析、猜測特殊三角形的r與L、S之間關系，并證明這種關系對任意三角形（圖丙）是否也成立？

Answer 1

分析：（1）首先運用刻度尺進行準確測量，然后根據周長等于三邊之和進行計算，根據面積等于分割成的三個三角形的面積進行計算；
（2）根據表格中的數據，易猜想得到r=

2S

L

．再根據三角形的總面積等于分割成的三部分的面積進行計算證明．

解答：解：（1）

	AC	BC	AB	r	L	s
圖甲	2.0	2.0	2.0	0.6	6.0	1.7（或1.8）
圖乙	3.0	4.0	5.0	1.0	12.0	6.0

（2）由圖表信息猜測，得r=

2S

L

（或者2s=Lr）并且此關系對一般三角形都成立．
證明：在任意△ABC中，⊙O是△ABC的內切圓，連接OA、OB、OD，得
S=

1

2

BC•r+

1

2

AC•r+

1

2

AB•r=

1

2

Lr
∴r=

2S

L

．

點評：此題導出了三角形的內切圓半徑的一個公式，即三角形的內切圓的半徑等于面積的2倍除以周長．