Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是OA、OB的中點．
（1）求證：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠OCB=∠OBC
∴∠DAE=∠CBF
又∵AE=OA，BF=OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF；

（2）解：過點F作FG⊥CD于點G，
∴∠DGF=90°
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°
∴∠DGF=∠DCB
又∵∠FDG=∠BDC
∴△DFG∽△DBC
∴
由（1）可知F為OB的中點，
所以DF=3FB，得
∴
∴FG=3，DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2
在Rt△FGC中，cm．
（說明：其他解法可參照給分，如延長CF交AB于點H，利用△DFC∽△BFH計算．）
分析：（1）根據矩形的對邊相等、對角線相等且相互平分等性質可證△ADE≌△BCF；
（2）要求CF的長，若CF在一直角三角形中，則可用勾股定理求解．由此需要添加輔助線，過點F作FG⊥CD于點G，則△DFG∽△DBC；由（1）的結論可得DF=3FB，則可算出FG、DG的值，進而求得CF的長．
點評：本題主要考查了矩形的性質、全等三角形、相似三角形的判定以及用勾股定理解直角三角形等，較為復雜．