Question

如圖一個直角三角形PQR的直角頂點為Q，以其三邊為直徑作三個半圓，矩形STUV的各邊與半圓相切且平行于PQ或者QR．如果PQ=6厘米，QR=8厘米，則STUV的面積是多少平方厘米？

Answer 1

分析：首先取PR的中點O，過點O作MN∥ST，EF∥SV，由題意可得MN⊥SV、MN⊥TU、EF⊥ST、EF⊥VU；EL、KN、OM、OF分別是各半圓的半徑，OL和OK是△ABC的中位線，又由在Rt△PQR中，PQ=6厘米，QR=8厘米，即可求得各個線段的長，繼而求得答案．

解答：解：取PR的中點O，過點O作MN∥ST，EF∥SV，

∵四邊形STUV是矩形，
∴SV∥EF∥TU，ST∥MN∥UV，∠S=∠V=90°，
∴MN⊥SV、MN⊥TU、EF⊥ST、EF⊥VU，
∵PQ∥ST，QR∥TU，
∴PQ∥MN∥VU，QR∥EF∥TU，
∴PL=QL，QK=RK，
∴OL=

1

2

QR=

1

2

×8=4，OK=

1

2

PQ=

1

2

×6=3厘米，
∵矩形STUV的各邊分別與半圓相切，
∴EL=

1

2

PQ=

1

2

×6=3，KN=

1

2

QR=

1

2

×8=4厘米，
在Rt△PQR中，PR=

62+82

=10厘米，
∴OM=OF=

1

2

×PR=5厘米，
∴SV=FU=EF=EL+OL+OF=3+4+5=12厘米，ST=UV=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12厘米，
∴S_矩形STUV=12×12=144平方厘米．

點評：此題考查了切線的性質、矩形的性質，三角形中位線的性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，解題的關鍵是掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．