Question

25、已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按圖1放置，使點(diǎn)E在BC上，取DF的中點(diǎn)G，連接EG，CG．
（1）延長EG交DC于H，試說明：DH=BE．
（2）將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45°，連接DF，取DF中點(diǎn)G（如圖2），莎莎同學(xué)發(fā)現(xiàn)：EG=CG且EG⊥CG．在設(shè)法證明時他發(fā)現(xiàn)：若連接BD，則D，E，B三點(diǎn)共線．你能寫出結(jié)論“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由嗎？請寫出來．
（3）將圖1中△BEF繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動任意角度α（0＜α＜90°），再連接DF，取DF的中點(diǎn)G（如圖3），第2問中的結(jié)論是否成立？若成立，試說明你的結(jié)論；若不成立，也請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易證得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到結(jié)論．
（2）連接DB，如圖2，由△BEF為等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四邊形ABCD為正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三點(diǎn)共線，而G為DF的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到結(jié)論．
（3）連接AC、BD相交于點(diǎn)O，取BF的中點(diǎn)M，連接OG、EM、MG，由G為DF的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，M為BF的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，則△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．

解答：（1）證明：∵∠BEF=90°，
∴EF∥DH，
∴∠EFG=∠GDH，
而∠EGF=∠DGH，GF=GD，
∴△GEF≌△GHD，
∴EF=DH，
而BE=EF，
∴DH=BE；

（2）連接DB，如圖2，
∵△BEF為等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，
而四邊形ABCD為正方形，
∴∠DBC=45°，
∴D，E，B三點(diǎn)共線．
而∠BEF=90°，
∴△FED為直角三角形，
而G為DF的中點(diǎn)，
∴EG=GD=GC，
∴∠EGC=2∠EDC=90°，
∴EG=CG且EG⊥CG；


（3）第2問中的結(jié)論成立．理由如下：
連接AC、BD相交于點(diǎn)O，取BF的中點(diǎn)M，連接OG、EM、MG，如圖，

∵G為DF的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，M為BF的中點(diǎn)，
∴OG∥BF，GM∥OB，
∴四邊形OGMB為平行四邊形，
∴OG=BM，GM=OB，
而EM=BM，OC=OB，
∴EM=OG，MG=OC，
∵∠DOG=∠GMF，
而∠DOC=∠EMF=90°，
∴∠EMG=∠GOC，
∴△MEG≌△OGC，
∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，
又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，
∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，
∴EG=CG且EG⊥CG．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．