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已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A,將正方形AEFG繞點A旋轉.
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(1)發現:當E點旋轉到DA的延長線上時(如圖1),△ABE與△ADG的面積關系是:
 

(2)引申:當正方形AEFG旋轉任意一個角度時(如圖2),△ABE與△ADG的面積關系是:
 
.并證明你的結論.
(3)運用:已知△ABC,AB=5cm,BC=3cm,分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形(如圖3),則圖中陰影部分的面積和的最大值是
 
cm2
分析:(1)由于當E點旋轉到DA的延長線上時,根據圖形和三角形的面積公式容易得到△ABE與△ADG的面積關系;
(2)相等.如圖延長BA到點P,過點E作EP⊥BP于點P;延長AD到點Q,過點G作GQ⊥AQ于點Q,由此得到∠P=∠Q=90°,而四邊形AGFE,ABCD均為正方形,根據正方形的性質可以得到AE=AG,AB=AD,∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,這樣得到∠1=∠3,然后就可以證明△APE≌△AQG,接著得到EP=GQ,然后利用三角形的面積公式即可證明題目的問題;
(3)根據(2)的幾個可以得到三個陰影部分的面積都和三角形ABC的面積相等,而AB=5cm,BC=3cm,若圖中陰影部分的面積和的最大值,則三角形ABC的面積最大,則其是直角三角形即可求解.
解答:精英家教網解:(1)相等;

(2)相等,
證明:如圖,延長BA到點P,過點E作EP⊥BP于點P;
延長AD到點Q,過點G作GQ⊥AQ于點Q.
∴∠P=∠Q=90°
∵四邊形AGFE,ABCD均為正方形
∴AE=AG,AB=AD,∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△APE≌△AQG(AAS)
∴EP=GQ
又∵S△ABE=
1
2
AB•EP
S△AGD=
1
2
AD•GQ
∴S△ABE=S△AGD(7分)

(3)根據(2)得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍,
若圖中陰影部分的面積和的最大值,則三角形ABC的面積最大,
∴△ABC是直角三角形,∠B是直角,
∴S陰影部分面積和=3S△ABC=3×3×5÷2=22.5cm2
故答案為:相等;相等;22.5.
點評:此題分別考查了旋轉的性質、正方形的性質及全等三角形的判定與性質,有一定的綜合性,要求學生熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A,將正方形AEFG繞點A旋轉.
(1)發現與證明:
發現:①當E點旋轉到DA的延長線上時(如圖1),△ABE與△ADG的面積關系是:
 

②當E點旋轉到CB的延長線上時(如圖2),△ABE與△ADG的面積關系是:
 

證明:請你選擇上述兩個發現中的任意一個加以證明,選擇①、②證明的滿分分別為4分和6分.(注意:證明前要注明選擇了哪一個發現)
(2)引申與運用:
引申:當正方形AEFG旋轉任意一個角度時(如圖3),△ABE與△ADG的面積關系是:
 

運用:已知△ABC,AB=5cm,BC=3cm,分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形(如圖4),則圖中陰影部分的面積和的最大值是
 
cm2
證明:我選擇
 
進行證明.
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科目:初中數學 來源: 題型:

24、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A,點G、E分別在線段AD、AB上.
(1)如圖1,連接DF、BF,證明:BF=DF;
(2)若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉,在旋轉的過程中線段DF與BF的長還相等嗎?若相等,請證明;若相不等,連接DG,在旋轉的過程中,你能否找到一條線段的長與線段DG的長始終相等.并以圖2為例說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知正方形ABCD和EFCG,點E、F、G分別在線段AC、BC、CD上,正方形ABCD的邊長為6.
(1)如果正方形EFCG的邊長為4,求證:△ABE∽△CAG;
(2)正方形EFCG的邊長為多少時,tan∠ABE×cot∠CAG=3.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A,將正方形AEFG繞點A旋轉.

(1)如圖,當點E旋轉到DA的延長線上時,△ABE與△ADG面積之間的關系為:S△ABE
=
=
S△ADG(填“<”“=”“>”);
(2)如圖,當正方形AEFG旋轉任意一個角度時,S△ABE
=
=
S△ADG(填“<”“=”“>”),并說明理由;
(3)如圖,四邊形ABCD、四邊形AEFG和四邊形DGMN均為正方形,則S△ABE、S△ADG、S△CDN和S△GMF的關系是
相等
相等

(4)某小區中有一塊空地,要在其中建三個正方形健身場所,其余空地(圖中陰影部分)修成草坪,其中一個正方形的邊長為6m.另外兩個正方形的邊長之和為10m,則草坪的最大面積為
48
48
m2

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