Question

如圖，已知正方形ABCD和EFCG，點E、F、G分別在線段AC、BC、CD上，正方形ABCD的邊長為6．
（1）如果正方形EFCG的邊長為4，求證：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的邊長為多少時，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質可得到各角均為直角，AC，EC的長，從而根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似求得結論．
（2）設正方形EFCG的邊長為x，則BF=6-x，連接FG交AC于點H，從而分別表示GH，AH的長，用未知數分別表示tan∠ABE與cot∠CAG，根據等式可求得求知數的值，即求得正方形EFCG的邊長．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD邊長為6，正方形EFCG邊長為4，
∴∠BAC=∠ACG，AB=6，AC=6

2

，CG=4，EC=4

2

．（2分）
∴AE=AC-EC=2

2

．
∴

AB

AE

=

AC

CG

．（2分）
在△ABE和△CAG中
∠BAC=∠ACG，

AB

AE

=

AC

CG

，
∴△ABE∽△CAG．（1分）

（2）解：設正方形EFCG的邊長為x，則BF=6-x，
連接FG交AC于點H，
可得GH⊥AC，GH=

2

2

x，AH=6

2

-

2

2

x，
tan∠CAG=

GH

AH

=

2 2 x

6 2 - 2 2 x

=

x

12-x

，（2分）
∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，
∴tan∠ABE=

BF

EF

=

6-x

x

．（1分）
∵tan∠ABE=3tan∠CAG，
∴

6-x

x

=

3x

12-x

，（1分）
∴x₁=-12（舍去），x₂=3，
∴當正方形EFCG的邊長為3時，tan∠ABE=3tan∠CAG．（1分）

點評：此題主要考查學生對正方形的性質及相似三角形的判定方法的綜合運用．