Question

10．如圖，已知l₁∥l₂∥l₃，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰△ABC的三個頂點分別在這三條平行直線上，若∠ACB=90°，則sinα的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{6}{17}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 過點A作AD⊥l₁于D，過點B作BE⊥l₁于E，根據同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角邊”證明△ACD和△CBE全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根據等腰直角三角形斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍求出AB，然后利用銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．

解答 解：如圖，過點A作AD⊥l₁于D，過點B作BE⊥l₁于E，設l₁，l₂，l₃間的距離為1，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC=BC，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠BEC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE=1，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在等腰直角△ABC中，AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$，
∴sinα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選：D．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，銳角三角函數的定義，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．