Question

（2011•德宏州）如圖，已知直線y=ax+b（a≠0）與雙曲線y=

k

x

（k≠0）交于A、B兩點，且點A（2，1），點B的縱坐標為2．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求直線的解析式；
（3）求線段AB的長；
（4）問在雙曲線上是否存在點C，使△ABC的面積等于3？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由（結果不需要分母有理化）

Answer 1

分析：（1）將點A的坐標代入雙曲線解析式，即可求得k的值；
（2）把點B的縱坐標代入（1）中的雙曲線解析式即可求得點B的橫坐標；然后把點A、B的坐標分別代入直線方程，列出關于a、b的方程組，通過解方程組來求a、b的值；
（3）利用兩點間的距離公式來求線段AB的長度；
（4）如圖，過點C作CD∥x軸，交直線AB于點D；過點C作CH⊥AB于點H．利用面積法求得CH=3

2

．然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征設C（x，

2

x

），則D（3-

2

x

，

2

x

）．
易求|CD|=|3-

2

x

-x|=6；最后通過解絕對值方程來求x的值．

解答：解：（1）根據題意知，點A（2，1）在雙曲線y=

k

x

（k≠0）上，則k=xy=2×1=2，
所以雙曲線的解析式為y=

2

x

；

（2）根據題意知，點B在雙曲線y=

2

x

上，且點B的縱坐標是2．故設B（x，2）．則
2=

2

x

，
解得，x=1，
故點B的坐標是（1，2）．
∵點A、B都在直線y=ax+b（a≠0）上，
∴

1=2a+b 2=a+b

，
解得，

a=-1 b=3

，
∴直線的解析式為：y=-x+3；

（3）∵A（2，1），B（1，2），
∴AB=

(1-2)2+(2-1)2

=

2

，即線段AB的長度是

2

；

（4）存在，理由如下：
如圖，過點C作CD∥x軸，交直線AB于點D；過點C作CH⊥AB于點H．
∵AB=

2

，S_△ABC=3，
∴

1

2

AB•CH=3，即

1

2

×

2

=3，
∴CH=3

2

．
設C（x，

2

x

），則D（3-

2

x

，

2

x

）．
∴|CD|=|3-

2

x

-x|．
在Rt△CDH中，∠CDB=45°，CH=3

2

，則CD=6，
得方程|3-

2

x

-x|=6．
①當3-

2

x

-x=6時，解得，x₁=-1，x₂=-2，
∴點C的坐標是（-1，-2），（-2，-1）；
②當3-

2

x

-x=-6時，解得x₁=

9+ 73

2

，x₂=

9- 73

2

，
∴點C的坐標是（

9+ 73

2

，

4

9+ 73

），（

9- 73

2

，

4

9- 73

）；
綜上所述，符號條件的點C有4個，即（-1，-2），（-2，-1），（

9+ 73

2

，

4

9+ 73

），（

9- 73

2

，

4

9- 73

）．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題．用待定系數法確定函數的解析式，是常用的一種解題方法．同學們要熟練掌握這種方法．