Question

（2012•昌平區一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點M坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上找到點P，使得△PAC的周長最小，并求出點P的坐標；
（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E．設CD的長為m，問當m取何值時，S_△PDE=

1

9

S_{四邊形ABMC}．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三點代入解析式求出即可，再利用配方法求出頂點坐標即可；
（2）利用點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，連接BC與拋物線對稱軸交于一點，即為所求點P，再利用△PHB∽△CBO求出P點坐標即可；
（3）首先利用A（-1，0）B（3，0），C（0，3），M（1，4）求出S_{四邊形ABMC}，進而得出S_△PDE=1，利用S_△PDE=S_{四邊形PDOE}-S_△DOE求出m的值即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三點，
∴

9a+3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

．
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1） ²+4，
故頂點M為（1，4）．  

（2）如圖1，∵點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，
∴連接BC與拋物線對稱軸交于一點，即為所求點P．
設對稱軸與x軸交于點H，
∵PH∥y軸，
∴△PHB∽△COB．
∴

PH

CO

=

BH

BO

．
由題意得BH=2，CO=3，BO=3，
∴PH=2．
∴P（1，2）．                

（3）如圖2，∵A（-1，0），B（3，0），C（0，3），M（1，4），
∴S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_梯形COHM+S_△MHB=

1

2

×1×3+

1

2

（3+4）×1+

1

2

×4×2=9．
∵S_{四邊形ABMC}=9S_△PDE，
∴S_△PDE=1．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°．
∵DE∥PC，
∴∠ODE=∠OED=45°．
∴OD=OE=3-m．
∵S_{四邊形PDOE}=

9

2

-

3

2

m，
∴S_△PDE=S_{四邊形PDOE}-S_△DOE=-

1

2

m2+

3

2

m（0＜m＜3）．
∴-

1

2

m2+

3

2

m=1．
解得m₁=1，m₂=2．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及相似三角形的判定與性質和四邊形面積求法等知識，利用數形結合得出S_{四邊形PDOE}是解題關鍵．