Question

如圖，在⊙O中，

BC

=

BD

，點M是

CD

上任意一點，弦CD與弦BM交于點F，連接MC，MD，BD．
（1）請你在圖中過點B作⊙O的切線AE，并證明AE∥CD；
（不寫作法，作圖允許使用三角板）
（2）求證：MC•MD=MF•MB；
（3）如圖，若點M是

BC

上任意一點（不與點B，點C重合），弦BM，DC的延長線交于點F，連接MC，MD，BD，則結論MC•MD=MF•MB是否仍然成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當作出切線AE后，弦切角DBE和弧BD（弧BC）∠BMC相等，又∠BMC和∠BDC為同弧所對的圓周角，所以有∠DBE=∠BMC=∠BDC，所以AE∥CD；
（2）因為∠DBM和∠DCM為同弧所對的圓周角，所以相等，又∠BMD和∠BMC為等弧所對的圓周角，所以相等，即△MCF∽△MBD則有MC•MD=MF•MB；
（3）四邊形BDCM是⊙O的內接四邊形，所以有∠FMC=∠BDC，∠FCM=∠B，又因為∠BDC和∠BMD為等弧所對的圓周角，所以相等，兩組對應角相等，所以相似．

解答：解：（1）如圖，正確作出切線．
證明：∵AE是⊙O的切線，
∴∠DBE=∠DMB．
∵

BC

=

BD

，
∴∠CDB=∠DMB．
∴∠DBE=∠CDB．
∴AE∥CD．

（2）證明：∵

BC

=

BD

，
∴∠CMF=∠BMD．
又∵∠MCF=∠MBD，
∴△MCF∽△MBD．
∴

MC

MB

=

MF

MD

．
∴MC•MD=MF•MB．

（3）成立．
證明：∵四邊形BDCM是⊙O的內接四邊形，
∴∠FCM=∠DBM，∠FMC=∠BDC．
∵

BC

=

BD

，
∴∠BDC=∠DMB．
∴∠FMC=∠DMB．
∴△MCF∽△MBD．
∴

MC

MB

=

MF

MD

．
∴MC•MD=MF•MB．

點評：此題主要考查了圓中等弧同弧所對的圓周角相等這一性質，以及相似的判定，難易程度適中．