Question

在平行四邊形ABCD中，對角線AC⊥AB，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點E，過E作EF∥BC分別交AC，DC于G，F，過E作EH∥AB分別交AC，AD于K，H．
（1）若∠B=60°，CF=2，求EG的長；
（2）求證：GF=GK+KH．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件可證明CG=GE，在直角三角形GCE中利用60°角的正切值可求出GC的長，進而得到EG的長；
（2）過C作CM⊥EF交EF于M，首先證明△CMG≌△EKG，可得到MG=GK，CM=EK，再證明△CMF≌△AKH，可得到FM=KH，因為GF=FM+MG，所以GF=GK+KH．

解答：（1）解：∵EF∥BC，CE為∠CAB的角平分線，
∴∠AGE=∠CGF=2∠BCE，
∵∠AGE=∠ACE+∠CEG，
∴∠ACE=∠CEG，
∴GC=GE，
在直角三角形GCF中，GC=tan60°×FC=2

3

，
∴GE=2

3

；
  
（2）證明：過C作CM⊥EF交EF于M，
由（1）知GC=GE，
∵∠CGF=∠AGE，
在△CMG與△EKG中，

∠CMG=∠EKG ∠KGE=∠CGM CG=EG

，
∴△CMG≌△EKG（AAS），
∴MG=GK，CM=EK，
∵EF∥AD，EH∥AB∥DC，
∴∠CFM=∠D=∠KHA，
又∵∠FCA=∠HKA=90°，CM=EK，
在△CMF與△AKH中，

∠CFM=∠KHA ∠FCA=∠HKA CM=EK

，
∴△CMF≌△AKH（AAS），
∴FM=KH，
∵GF=FM+MG，
∴GF=GK+KH．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，解直角三角形得有關知識以及全等三角形的判定和性質，題目的綜合性很強，難度中等．