Question

（2013•鞍山一模）在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，點E是AD的中點，點O是AB邊上一點，且AO=AE，過點E作直線HF交DC于點H，交BA的延長線于F，以OE所在直線為對稱軸，△FEO經軸對稱變換后得到△F′EO，直線EF′交直線DC于點M．
（1）求證：AD∥OF′；
（2）若M點在點H右側，OA=4，求DH•DM的值．

Answer 1

分析：（1）根據等腰△AEO的性質得到：∠1=∠2；由對稱變換得到∠2=∠3，則內錯角∠1=∠3．故AD∥OF′；
（2）根據“兩角法”證得△EDH∽△MDE，則該相似三角形的對應邊成比例，即

DH

DE

=

DE

DM

，所以DH•DM=DE²=4²=16．

解答：（1）證明：如圖，∵AO=AE，
∴∠1=∠2．
又∵以OE所在直線為對稱軸，△FEO經軸對稱變換后得到△F′EO，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OF′；

（2）解：如圖，∵點E是AD的中點，AO=AE，OA=4，
∴DE=AE=OA=4．
∵在?ABCD中，DC∥AB，
∴∠5=∠F．
∵由（1）知，AD∥OF′，
∴∠DEM=∠4．
又∵∠4=∠F，
∴∠5=∠DEM，
又∵∠EDH=∠MDE，
∴△EDH∽△MDE，
∴

DH

DE

=

DE

DM

，即DH•DM=DE²=4²=16．
∴DH•DM的值是16．

點評：本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質以及軸對稱的性質．此題難度較大，在證明三角形相似時，一定要找準對應角和對應邊．