Question

（2012•閘北區二模）已知：如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=-

2

x

的圖象交于點A（-1，m），與x軸正半軸交于點B，AP⊥x軸于點P，且S_△ABP=2．
（1）求點B的坐標及一次函數的解析式；
（2）設點C是x軸上的一個點，如果∠ACO=∠BAO，求出點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先把A（-1，m）代入y=-

2

x

，即可求得m的值，又由S_△ABP=2，則可求得點B的坐標，然后利用待定系數法即可求得此一次函數的解析式；
（2）由（1）可求得OA=

5

，AB=2

2

，分別從當點C在x軸的正半軸上與當點C在x軸的負半軸上時去分析，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）把A（-1，m）代入y=-

2

x

，
得m=-

2

-1

=2，
即點A的坐標為：（-1，2），
又∵S_△ABP=

1

2

PB•AP，
∴2=

1

2

PB×2，
∴PB=2，
∴點B（1，0）；
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
把點A、B的坐標代入得：

0=k+b 2=-k+b

，
解得：

k=-1 b=1

，
故直線AB的解析式為y=-x+1；

（2）∵點A（-1，2）、B（1，0），
∴OA=

5

，AB=2

2

．如圖：
當點C在x軸的正半軸上時，
∵∠ACO=∠BAO，∠AOC=∠BOA，
∴△OAC∽△OBA，
∴

OA

OC

=

OB

OA

，
∴

5

OC

=

1

5

，
∴OC=5，
即點C₁（5，0）；
當點C在x軸的負半軸上時，
∵∠ACO=∠BAO，∠ABC=∠OBA，
∴△ABO∽△CBA，
∴

AB

CB

=

OB

AB

，
∴

8

CB

=

1

8

，
∴CB=8，
即點C₂（-7，0）．
綜上，點C的坐標為：（5，0），（-7，0）．

點評：此題考查了待定系數法求一次函數的解析式、相似三角形的判定與性質、反比例函數與一次函數的交點問題以及三角形面積問題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．