Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在半徑OB的延長線上，∠BCD=∠A=30°，
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若CD長為

3

，求⊙O的半徑以及弧BC、線段CD和BD所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號）

Answer 1

分析：（1）由已知可證得OC⊥CD，OC為圓的半徑所以直線CD與⊙O相切；
（2）根據(jù)已知可求得OC，CD的長，則利用S_陰影=S_△COD-S_扇形OCB求得陰影部分的面積．

解答：解：（1）直線CD與⊙O相切，
∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半徑，
∴直線CD與⊙O相切．

（2）∵∠OCD=90°，∠O=60°，
∴∠D=30°，
∵CD=

3

，
∴CO=CD•tanD=1，
∴S_△COD=

1

2

OC•CD=

3

2

，
又∵S_扇形OCB=

60π×12

360

=

π

6

，
∴S_陰影=S_△COD-S_扇形OCB=

3

2

-

π

6

=

3 3 -π

6

．

點評：此題主要考查了對切線的性質(zhì)及扇形的面積公式，關(guān)鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及扇形的面積計算公式．