Question

如圖，把兩個全等的腰長為8 的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD，N是斜邊AC上一動點。
（Ⅰ）若E、F為AC的三等分點，求證：∠ADE= ∠CBF；      
（Ⅱ）若M是DC上一點，且DM=2，求DN+MN的最小值；（注：計算時可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，則AB2=AC2+BC2）
（Ⅲ）若點P在射線BC上，且NB=NP，求證：NP⊥ND。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵E、F為AC的三等分點，       ∴AE=AC，CF=AC ∴AE=CF．       ∵AB=BC，∠ABC=90°，       ∵∠BAC= ∠BCA=45°．       同理∠DAC=45 °．       ∴∠BCA= ∠DAC．       ∵△ASC≌△CDA，      ∴CB=AD．       ∴在△ADE和△CBF中，        AE=CF，∠DAE= ∠BCF，AD=CB，       ∴△ADE≌△CBF（SAS）       ∴∠ADE= ∠CBF；   （Ⅱ）∵D、B關于AC對稱，所以當B、N、M在一直線上時，DN+MN最小       ∵AB=8,DM=2， ∴CM=6        在Rt △MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8， 根據題中定理可求出BM=10  ∴DN+MN最小值為10 （Ⅲ）①當點P在線段BC上（P與B、C不重合）時，     ∵NB=NP ∴∠NBP= ∠NPB     ∵D、B關于AC對稱，     ∴∠NBP= ∠NDC       ∴∠NPB+ ∠NPC= ∠NDC+ ∠NPC=180 °．       ∴∠DNP=360 °- （∠BCD+ ∠NDC+ ∠NPC）=90°       ∴NP⊥ND      ②當點P與點C重合時，點N恰好在AC的中點處，       ∵∠NDC= ∠NCD=45° ∴∠DNC=90°       ∴NP⊥ND ③當點P在BC延長線上時，       ∵NB=NP ∴∠NBP= ∠NPB       ∴D、B關于AC對稱， ∠NBP= ∠NDC       ∴∠NPC= ∠NDC ∵∠DHN= ∠CHP，       ∴∠DNP= ∠DCP=90° ∴NP⊥ND。