Question

如圖，把兩個全等的腰長為8的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD，N是斜邊AC上一動點．
（1）若E、F為AC的三等分點，求證：∠ADE=∠CBF；
（2）若M是DC上一點，且DM=2，求DN+MN的最小值；
（注：計算時可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，則AB²=AC²+BC²）
（3）若點P在射線BC上，且NB=NP，求證：NP⊥ND．

Answer 1

解：（1）證明：∵E、F為AC的三等分點，
∴AE=AC，CF=AC，∴AE=CF．
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠BAC=∠BCA=45°，
同理∠DAC=45°，
∴∠BCA=∠DAC．
∵△ADE≌△CBF，
∴CB=AD，
∴在△ADE和△CBF中，
AE=CF，∠DAE=∠BCF，AD=CB，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠ADE=∠CBF．

（2）∵D、B關于AC對稱，所以當B、N、M在一直線上時，DN+MN最小．
∵AB=8，DM=2，∴CM=6．
在Rt△MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8，根據題中定理可求出BM=10．
∴DN+MN最小值為10．

（3）①當點P在線段BC上（P與B、C不重合）時，
∵NB=NP，∴∠NBP=∠NPB．
∵D、B關于AC對稱，
∴∠NBP=∠NDC，
∴∠NPB+∠NPC=∠NDC+∠NPC=180°
∴∠DNP=360°-（∠BCD+∠NDC+∠NPC）=90°
∴NP⊥ND．

②當點P與點C重合時，點N恰好在AC的中點處，
∵∠NDC=∠NCD=45°，∴∠DNC=90°．
∴NP⊥ND．

③當點P在BC延長線上時，
∵NB=NP，∴∠NBP=∠NPB．
∴D、B關于AC對稱，∠NBP=∠NDC，
∴∠NPC=∠NDC，
又∵∠DHN=∠CHP，
∴∠DNP=∠DCP=90°，
∴NP⊥ND．
分析：（1）用SAS證明△ADE≌△CBF，從而得出∠ADE=∠CBF；
（2）由于D、B關于AC對稱，所以當B、N、M在一直線上時，DN+MN最小．根據勾股定理可求出BM的長度，從而得出DN+MN的最小值；
（3）當點P在射線BC上時，分三種情況進行討論：①點P在線段BC上（P與B、C不重合）；②點P與點C重合；③點P在BC延長線上．針對每一種情況，都證明∠DNP=90°，然后根據垂直的定義，得出NP⊥ND．
點評：本題綜合考查了全等三角形的判定，軸對稱--最短路線問題及垂直的判定，有一定難度．