Question

 如圖，把兩個(gè)全等的腰長(zhǎng)為8的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD，N是斜邊AC上一動(dòng)點(diǎn)．

(Ⅰ)若E、F為AC的三等分點(diǎn)，求證：∠ADE=∠CBF；

 

      (Ⅱ)若M是DC上一點(diǎn)，且DM=2，求DN+MN的最小值；

(注：計(jì)算時(shí)可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，則AB²=AC²+BC²．)

 

(Ⅲ)若點(diǎn)P在射線BC上，且NB=NP，求證：NP⊥ND．

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵E、F為AC的三等分點(diǎn)，

　　 ∴AE=AC，CF=AC,∴AE=CF．

　　 ∵AB=BC，∠ABC=90°，

　　 ∵∠BAC=∠BCA=45°．

　 同理∠DAC=45°．

　 　∴∠BCA=∠DAC．

　　 ∵△ASC≌△CDA，

　 　∴CB=AD．

　　∴在△ADE和△CBF中，

　 　　 AE=CF，

　　　∠DAE=∠BCF，

　　　AD=CB，

　 　 ∴△ADE≌△CBF(SAS)．

　 　 ∴∠ADE=∠CBF．

(Ⅱ)∵D、B關(guān)于AC對(duì)稱，所以當(dāng)B、N、M在一直線上時(shí)，DN+MN最小．

　 　∵AB=8,DM=2，∴CM=6．

　 　在Rt△MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8，根據(jù)題中定理可求出BM=10．

　 　∴DN+MN最小值為10．

(Ⅲ)①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上(P與B、C不重合)時(shí)，

　 ∵NB=NP, ∴∠NBP=∠NPB．

　 ∵D、B關(guān)于AC對(duì)稱，

　 ∴∠NBP=∠NDC．

　 　∴∠NPB+∠NPC=∠NDC+∠NPC=180°．

　 　∴∠DNP=360°-(∠BCD+∠NDC+∠NPC)=90°．

　 　∴NP⊥ND．　 　②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)N恰好在AC的中點(diǎn)處，

　 　∵∠NDC=∠NCD=45°,∴∠DNC=90°．

　 　∴NP⊥ND．

③當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，

　　∵NB=NP,∴∠NBP=∠NPB．

　 　 ∴D、B關(guān)于AC對(duì)稱,∠NBP=∠NDC．

　 　 ∴∠NPC=∠NDC．∵∠DHN=∠CHP，

　 　 ∴∠DNP=∠DCP=90°.∴NP⊥ND．