Question

（本題滿分12分）定義：如圖1，射線OP與原點為圓心，半徑為1的圓交于點P，記∠xOP=α，則點P的橫坐標叫做角的余弦值，記作；點P的縱坐標叫做角的正弦值，記作；縱坐標與橫坐標的比值叫做角的正切值，記作．

如：當時， 點P的橫坐標為=，縱坐標為=即P（，）．

又如：在圖2中，（為銳角）， PN軸，QM軸，易證△OQM≌△OPN， 則Q點的縱坐標等于點P的橫坐標，得= ．

解決以下四個問題：

（1）當時，求點P的坐標；

（2）當是銳角時，則+ 1（用>或<填空），= ；

（3）求證：（為銳角）；

（4）求證：tan=（為銳角）；

Answer 1

（1）（，）；（2）＞，1；（3）證明見試題解析；（4）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）點P的橫坐標為cos60°，縱坐標為sin60°，從而可得點P的坐標；

（2）結合圖形可在△POM中，表示出cosα+sinα，繼而與半徑長1，比較即可；根據勾股定理可得=1；

（3）畫出圖形，根據cosα及sin（90°+α）表示的實際意義，可得出結論；

（4）構造圖形，如圖，分別表示出tan，及表示的線段比，繼而可得出結論．

試題解析：（1）點P的坐標為（cos60°，sin60°）=（，）；

（2）如圖1所示：∠MOP=α，∵半徑為1，∴cosα==OM，sinα==PM，

∴cosα+sinα=OM+PM＞OP=1；

∴=；

（3）如圖2所示：∠MOP=α，點P的縱坐標為sin（90°+α），值為OM的長度，cosα==OM，∴sin（90°+α）=cosα；

（4）如圖3所示：∠AOQ=∠POQ=，∠AOP=α，則cosα==OM，sinα==PM，∴==tan∠APM，∵OQ是∠AOP的角平分線，∴OQ⊥AP，∴∠AOQ+∠OAP=90°，∵∠APM+∠OAP=90°，∴∠AOP=∠APM，即=∠APM，∴tan= tan∠APM =．

考點：圓的綜合題．