Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，四邊形AEFG是平行四邊形，AE=GC．
（1）求證：AB=DC；
（2）當∠FGC=2∠1時，試判斷四邊形AEFG的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)和判定以及平行四邊形的性質(zhì)得出，∠GFC=∠C，進而得出∠B=∠C即可得出答案；
（2）利用已知得出∠CGH=∠1，進而得出∠1+∠B=90°，求出∠BEF=90°，即∠AEF=90°，利用矩形的判定得出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形AEFG是平行四邊形，
∴AE∥GF，AE=GF．
∴∠GFC=∠B．
∵AE=GC，AE=GF，∴GF=GC，∴∠GFC=∠C．
∴∠B=∠C．
∴AB=DC．

（2）解：四邊形AEFG是矩形．
理由：作GH⊥BC于點H．
∵GF=GC，∴∠FGC=2∠CGH，
又∵∠FGC=2∠1，∴∠CGH=∠1，
∴∠CGH+∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠BEF=90°，∴∠AEF=90°，
∴平行邊形AEFG是矩形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與矩形的判定定理和平行線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出∠1+∠B=90°是解題關鍵．