Question

如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點P，E為BC的中點，過E點的圓O與BD相切于點P，圓O與直線AC，BC分別交于點F，G．
（1）求證：△PCD∽△EPF；
（2）如果AB=AD，AC=6，BD=8（如圖2）．求圓O的直徑．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理得，∠DPC=∠PEF，由平行四邊形的性質和點E是BC的中點得PE∥CD，已知了∠CPE=∠PCD，可證得△PCD∽△EPF．
（2）由AB=AD，可證得平行四邊形ABCD是菱形，則它的對角線互相垂直平分；根據勾股定理可求出菱形的邊長．由于E是BC中點，可求得BE、EC的長，再根據切割線定理，可求出BG的長，進而可求出CG的長．在⊙O中，根據相交弦定理，可得PC•CF=EC•CG，其中PC、EC、CG的長已求得，由此可求出CF的長．也就求出了PF即圓的直徑．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BP=DP，
又∵BE=CE，
∴PE∥DC，
∴∠CPE=∠PCD，
∵BD切⊙O于P，
∴∠DPC=∠PEF，
∴△PCD∽△EPF；

（2）解：∵平行四邊形ABCD中，AB=AD，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
∴AC⊥BD，PB=

1

2

，
BD=

1

2

×8=4，PC=

1

2

，
AC=

1

2

×6=3，
∴BC=5，
∴BE=CE=

5

2

，
∵⊙O切BD于P，AC⊥BD，
∴PF為⊙O的直徑，
∵PE²=BE•BG，
∴42=

5

2

•BG，
∴BG=

32

5

，
∴OG=BG-BC=

7

5

，
∵PC•CF=EC•CG，
∴3CF=

5

2

×

7

5

，
∴CF=

7

6

，
∴⊙O的直徑為3+

7

6

=

25

6

．

點評：本題綜合利用了平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，切割線定理，圓周角定理，相交弦定理求解．