Question

9．如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE順時針旋轉至△ABF的位置．
（1）旋轉中心是點A，旋轉角度是90度；
（2）若連結EF，則△AEF是等腰直角三角形；并證明；
（3）若四邊形AECF的面積為36，DE=2，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據題意，即可確定旋轉中心，旋轉角．
（2）結論：△AEF是等腰直三角形．：由△ABF≌△ADE，推出AF=AE，∠FAB=∠DAE，推出∠FAE=∠DAB=90°即可證明．
（3）理由（2）的結論EF=$\sqrt{2}$AE，求出AE即可解決問題．

解答 解：（1）由題意旋轉中心為點A，旋轉角為90°；  
故答案為A，90．

（2）結論：△AEF是等腰直三角形．
理由：∵△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，∠FAB=∠DAE，
∴∠FAE=∠DAB=90°．
∴△AEF是等腰直角三角形，
故答案為等腰直角．

（3）∵正方形ABCD的面積為36，
∴AD=BC=CD=AB=6，
在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=2，
∴AE=AF=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$AE=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查旋轉的性質、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是利用旋轉不變性解決問題，屬于中考常考題型．