Question

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點

（1）如圖，E，F分別是AB，AC上的點，且BE=AF，求證：△DEF為等腰直角三角形。
（2）若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE=AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論。

Answer 1

（1）連結AD，因為AB=AC，∠BAC=90°D為BC的中點                 所以AD⊥BC ，BD=AD，所以∠B=∠DAC=45°                又BE=AF，所以△BDE≌△ADF         所以ED=FD，∠BDE=∠ADF                 所以∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°                所以△DEF為等腰直角三角形 （2）若E，F分別是AB，CA延長線上的點，如圖所示                 連結AD，因為AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點                所以AD=BD，AD⊥BC，所以∠DAC=∠ABD=45°          所以∠DAF=∠DBE=135°                又AF=BE，所以△DAF≌△DBE          所以FD=ED，∠FDA=∠EDB                所以∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°                所以△DEF仍為等腰直角三角