Question

（1）在某年6月的日歷中（見圖甲），任意圈 出一豎列上相鄰的三個數，設中間的一個為a，則用含a的 代數式表示這三個數（從小到大排列）分別是_______；
（2）現將連續自然數1至2016按圖中的方式排成一個長方形陣列，用一個正方形框出16個數（如圖乙）；
①圖中框出的這16個數的和是____；
②在圖乙中，要使一個正方形框出的16個數之和分別等于2009，2016，是否可能？若不可能，試說明理由，若有可能，請求出該正方形框出的16個數中的最小數和最大數。

Answer 1

解：（1）a-7，a，a+7；
（2）①經觀察不難發現，在這個方框里的每兩個關于中心對稱的數之和都等于44，如31與13，11與33，17與27都是成中心對稱的，于是易算出這16個數之和為44×8=352，

②設框出的16個數中最小的一個數為a，則這16個數組成的正方形方框如上圖所示，
因為方框中每兩個關于正方形的中心對稱的數之和都等于2a+24，
所以這16個數之和為8×（2a+24）=16a+192，
當16a+192=2 016時，a=114，
當16a+192=2009時，a=113.5625，
∵a為自然數，
∴a=113.5625不合題意，
即框出的16個數之和不可能等于2009，
由長方形陣列的排法可知，a只可能在1.2，3，4列，即a被7除的余數只可能是1，2，3 ，4，
因為114=16×7+2，
所以，這16個數之和等于2 016是可能的，
這時，方框中最小的數是114，最大的數是114+24=138。