Question

已知拋物線與x軸兩交點間的距離為4，與y軸交于點C，其頂點為（-1，4），求△ABC的面積．

Answer 1

解：設拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵頂點為（-1，4），
∴y=a（x+1）²+4，
即y=ax²+2ax+a+4，
∵拋物線與x軸兩交點間的距離為4，
∴設拋物線和x軸的兩個交點的橫坐標為x₁，x₂（x₁＞x₂），
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4-4×，
∵x₁-x₂=4，
∴4-4×=16，
解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x+1）²+4，
令x=0，得y=-（0+1）²+4=-1+4=3，
∴C（0，3），
∴S_△ABC=×4×3=6．
分析：根據題意可設拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，再將頂點（-1，4）代入，由拋物線與x軸兩交點間的距離為4，再設拋物線和x軸的兩個交點的橫坐標為x₁，x₂（x₁＞x₂）由根與系數的關系得出x₁-x₂．
點評：本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，用到的知識點為：二次函數y=ax²+bx+c的頂點（-，）；當x=0時，求得二次函數與y軸的交點；x軸上兩點間的距離等于較大的點的坐標減去較小的點的坐標．