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已知拋物線與x軸兩交點間的距離為4,與y軸交于點C,其頂點為(-1,4),求△ABC的面積.
【答案】分析:根據題意可設拋物線的解析式為y=a(x-h)2+k,再將頂點(-1,4)代入,由拋物線與x軸兩交點間的距離為4,再設拋物線和x軸的兩個交點的橫坐標為x1,x2(x1>x2)由根與系數的關系得出x1-x2
解答:解:設拋物線的解析式為y=a(x-h)2+k,
∵頂點為(-1,4),
∴y=a(x+1)2+4,
即y=ax2+2ax+a+4,
∵拋物線與x軸兩交點間的距離為4,
∴設拋物線和x軸的兩個交點的橫坐標為x1,x2(x1>x2),
∴x1+x2=-2,x1•x2=
∴(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2=4-4×
∵x1-x2=4,
∴4-4×=16,
解得a=-1,
∴拋物線的解析式為y=-(x+1)2+4,
令x=0,得y=-(0+1)2+4=-1+4=3,
∴C(0,3),
∴S△ABC=×4×3=6.
點評:本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題,用到的知識點為:二次函數y=ax2+bx+c的頂點(-,);當x=0時,求得二次函數與y軸的交點;x軸上兩點間的距離等于較大的點的坐標減去較小的點的坐標.
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如圖,已知拋物線與x軸分別交于O、A兩點,它的對稱軸為直線x=a,將拋物線向上平移4個單位長度得到拋物線,則圖中兩條拋物線、對稱軸與y軸所圍成的圖形(圖中陰影部分)的面積為

A.4           B.6          C.8           D.16

 

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