Question

已知點C、A、D在同一條直線上，∠ABC=∠ADE=α，線段BD、CE交于點M．
（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE．
①問線段BD與CE有怎樣的數量關系？并說明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如圖2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，則線段BD與CE又有怎樣的數量關系？并說明理由；∠BMC=

90°-

1

2

α

（用α表示）．

Answer 1

分析：（1）①首先根據已知得出∠BAD=∠CAE，進而得出△ABD≌△ACE，求出即可；
②利用△ABD≌△ACE，得出∠BDA=∠CEA，則∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠EAD即可得出答案；
（2）首先得出∠BAC=

180°-α

2

，同理可得出：∠DAE=

180°-α

2

，進而得出△ABD∽△ACE，即可得出線段BD與CE的關系以及∠BMC的度數．

解答：解：（1）①BD=CE，
理由：∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=α，
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α，
同理可得出：∠BAC=180°-2α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠EAD=180°-2α；

（2）BD=kCE，
理由：∵AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠ABC=∠ADE=α，
∴∠BAC=

180°-α

2

，
同理可得出：∠DAE=

180°-α

2

，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAE+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
∵ABC=kAC，AD=ED=kAE，
∴

AB

AC

=

AD

AE

=k，
∴△ABD∽△ACE，
∴

BD

CE

=

AD

AE

=k，
∴BD=kCE，
∴∠BMC=∠EAD=90°-

1

2

α．
故答案為：90°-

1

2

α．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，根據已知得出∠BMC=∠MCD+∠CEA是解題關鍵．