Question

已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F．
（1）如圖1，求證：△ACE≌△DCB．
（2）如圖1，若∠ACD=60°，則∠AFB=

120°

；如圖2，若∠ACD=90°，則∠AFB=

90°

；
（3）如圖3，若∠ACD=β，則∠AFB=

180°-β

（用含β的式子表示）并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠ACE=∠DCB，根據SAS證出兩三角形全等即可；
（2）根據全等三角形性質得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；
（3）根據全等三角形性質得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°-（∠EAB+∠DBC），代入求出即可．

解答：（1）證明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中
∵

AC=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB；

（2）解：∵∠ACD=60°，
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC=60°，
∴∠AFB=180°-60°=120°；
當∠ACD=90°時，
∵∠ACD=90°，
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC=90°，
∴∠AFB=180°-90°=90°；
故答案為：120°，90°；

（3）解：當∠ACD=β時，∠AFB=180°-β，理由是：
∵∠ACD=β，
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，
∴∠CAE+∠DBC=β，
∴∠AFB=180°-（∠CAE+∠DBC）=180°-β；
故答案為：180°-β．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質，三角形的內角和定理，解此題的關鍵是找出已知量和未知量之間的關系．