Question

如圖1，已知點C為線段AB上一點，CB＞CA，分別以線段AC、BC為邊在線段AB同側作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F．
（1）說明AE=DB的理由．
（2）如果∠ACD=60°，求∠AFB的度數．
（3）將圖1中的△ACD繞著點C順時針旋轉某個角度，到如圖2的位置，如果∠ACD=α，那么∠AFB與α有何數量關系（用含α的代數式表示）？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出∠ACE=∠BCD，進而利用SAS得出△ACE≌△DCB進而得出答案；
（2）首先證明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根據∠AFB是△ADF的外角求出其度數；
（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通過證明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形內角和定理得到結論∠AFB=180°-α．

解答：（1）證明：∵∠ACD=∠BCE（已知），
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECD（等式性質），
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE與△DCB中，

AC=DC(已知) ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB（全等三角形對應邊相等）；

（2）解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB（全等三角形對應角相等）．
∵∠ADF=∠ADC+∠CDB（等式性質），
∴∠ADF=∠ADC+∠CAE（等量代換），
又∵∠AFB=∠FAD+∠ADF（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
∴∠AFB=∠FAD+∠ADC+∠CAE（等量代換），
∴∠AFB=∠DAC+∠ADC（等式性質）
又∵∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°（三角形內角和等于180°），
∴∠DAC+∠ADC=180°-∠ACD（等式性質），
∴∠AFB=180°-∠ACD（等量代換），
∵∠ACD=60°（已知），
∴∠AFB=120°（等式性質）；

（3）解：∠AFB與α的數量關系為：∠AFB=180°-α，理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=α，則∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，
∴∠EFB=∠ECB，
∴∠AFB=180°-∠EFB，
∴∠AFB=180°-∠ECB，
因為∠ACD=∠BCE，∠ACD=α（已知），
所以∠AFB=180°-α．

點評：本題考查了全等三角形的判定及其性質、三角形內角和定理等知識，本題還綜合了旋轉的知識點，是一道綜合性比較強的題，要熟練掌握等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理．