Question

【題目】如圖，AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．連接OB、OC，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于N．

（1）求證：MN是⊙O的切線；

（2）當OB＝6cm，OC＝8cm時，求⊙O的半徑及MN的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)4.8cm,MN＝9.6cm．

【解析】

（1）先由切線長定理和平行線的性質可求出∠OBC+∠OCB＝90°，進而可求∠BOC＝90°，然后證明∠NMC=90°，即可證明MN是⊙O的切線；

（2）連接OF，則OF⊥BC，根據勾股定理就可以求出BC的長，然后根據△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑，通過證明△NMC∽△BOC，即可求出MN的長.

（1）證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點E、F、G，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB＝180°，

∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°＝90°.

∵MN∥OB，

∴∠NMC＝∠BOC＝90°，

即MN⊥MC 且MO是⊙O的半徑，

∴MN是⊙O的切線；

（2）解：連接OF，則OF⊥BC，

由（1）知，△BOC是直角三角形，

∴BC＝＝＝10，

∵S△BOC＝OBOC＝BCOF，

∴6×8＝10×OF，

∴OF＝4.8cm，

∴⊙O的半徑為4.8cm，

由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，

∴△NMC∽△BOC，

∴，即＝，

∴MN＝9.6（cm）．