Question

請閱讀下面材料，完成下列問題：
（1）如圖1，在⊙O中，AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，AE=a，EB=b．計算CE的長度（用a、b的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，請你在邊長分別為a、b（a＞b）的矩形ABCD的邊AD上找一點(diǎn)M，使得線段CM=

ab

，保留作圖痕跡；
（3）請你利用（2）的結(jié)論，在圖3中對矩形ABCD進(jìn)行拆分并拼接為一個與其面積相等的正方形．要求：畫出拼成的正方形，并用相同的數(shù)字表明拼接前與拼接后的同一圖形．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接AC、BC，利用AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，求證△ACE∽△CBE，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得
（2）如圖2，延長BC，使得CE=CD．以BE為直徑畫弧，以C為圓心，以CP為半徑畫弧即可．
（3）如圖3，利用了（2）的結(jié)論，在圖3中對矩形ABCD進(jìn)行拆分并拼接為一個與其面積相等的正方形

解答：解：（1）如圖1，連接AC、BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECB=90°，
又∴CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
∴CE²=AE•BE=ab，
∵CE為線段，
∴CE=

ab

；

（2）如圖2，延長BC，使得CE=CD．
以BE為直徑畫弧，交CD的延長線于點(diǎn)P．
以C為圓心，以CP為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)M．點(diǎn)M即為所求．

（3）如圖3．以C為圓心，CM長為半徑畫圓，過B點(diǎn)作FB∥MC，
做MN⊥FB，CQ⊥FB，
正方形MNQC為所求．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理的理解和掌握，第（1）比較容易，（2）（3）作圖對學(xué)生來說是個難點(diǎn)，因此此題屬于難題．